从骰点到购点的随想

[酒蒸烧带鱼]

骰点，就是让骰子来决定我们的各个属性数值。
而购点则代替了这个过程，让我们每个人都拥有了相仿的骰运，不会因为时辰的错造了张可悲的卡。

在这个概念的指导下，就会产生一个问题，究竟怎样从骰点转化到购点呢？
当然，这时我们可以选择拿出一个购点表，或者是别人口胡的一个购点表。如果有啥不好的，就改改这个表。

现在让我们看看这个表（掏出pf购点

属性	购点
7	–4
8	–2
9	–1
10	0
11	1
12	2
13	3
14	5
15	7
16	10
17	13
18	17

大概就是，选择一个骰子点数会花费一些购点点数，而较大的骰子点数意味着较多的购点消耗。
那么如果现在我们需要创造一个购点，例如属性骰是2d6的，又该如何做呢？

dnd系的属性其实存在一个特殊性，最终使用的调整值是要除以二再取整的，这让偶数属性会获得更大的价值。
为了简便起见，我们的2d6购点不存在这种阶段性，多一点就是实实在在的赚到。

一、创造一个2d6属性购点
这里假设人们会想要更高的属性，所以越高的属性就应该消耗越高的购点。
这时候我们很容易想到，设2d6的结果小于等于X的概率为P(2d6<=X)（X为整数），P(2d6<=X)显然是一个满足我们要求的，X越高值越大的函数。
下面给出2d6的P(2d6<=X)结果

2	0.027778
3	0.083333
4	0.166667
5	0.277778
6	0.416667
7	0.583333
8	0.722222
9	0.833333
10	0.916667
11	0.972222
12	1

没错，这已经是一个购点表了。
但光有这个还不够，我们还需要知道购点有多少总点数。
对，我们还需要一个将属性的购点综合起来的办法。
假设我们现在需要由2d6决定3个属性，这三个属性本身的分布是相互独立的。

这里设三属性结果分别为(x,y,z)。
显然(x-1,y,z)是劣于(x,y,z)的，因为我们已经假设了人们会想要更高的属性。
所以我们计算得到的总购点里，(x,y,z)的购点必然大于(x-1,y,z)的购点。
那么简单一点，我们直接把三次2d6分别小于等于x，y，z的概率作为购点综合结果。

即购点结果为
P(2d6<=x 且 2d6<=y 且 2d6<=z)=P(2d6<=x)*P(2d6<=y)*P(2d6<=z)
注：什么你的规则里属性可以随意组合？！那这个就不等了呢（叹气~
这样问题就非常明显了，我们已经知道P(2d6<=x)是怎么回事儿，就是购点值。

如果我们想让角色们成为社会群体中的前50%。
那么他们的购点应该满足三属性的购点相乘的结果=1-0.5 = 0.5。
也即三个属性的对应购点相乘要等于0.5。
当然要求等于是不可能凑够数的，所以我们只要求小于等于0.5。
也即P(2d6<=x)*P(2d6<=y)*P(2d6<=z)<=0.5

二、什么鬼我要整数加法
在上文所述的最后购点中我们遇到一个问题，这最后的购点居然不是加起来的，太过分了！让我手算小数乘法，不如要了我的命！
那么接下来我们就来解决这个问题。

第一步是把最后的乘法变成加法。
我们知道对数计算有乘法变加法的特性，即ln(ab)=ln(a)+ln(b)
这里我们直接对最后那个乘法式子两边取对数。
由于使用的自然对数的导数在x>0时恒大于0，所以不等号方向不变。
我们得到：
ln(P(2d6<=x)*P(2d6<=y)*P(2d6<=z))<=ln(0.5)
即ln(P(2d6<=x))+ln(P(2d6<=y))+ln(P(2d6<=z))<=ln(0.5)
这很容易发现ln(P(2d6<=x))就是变换成加法后我们所需的购点函数。
ln(P(2d6<=x))的值在下表中给出

x	P(2d6<=x)	ln(P(2d6<=x))
2	0.027778	-3.58352
3	0.083333	-2.48491
4	0.166667	-1.79176
5	0.277778	-1.28093
6	0.416667	-0.87547
7	0.583333	-0.539
8	0.722222	-0.32542
9	0.833333	-0.18232
10	0.916667	-0.08701
11	0.972222	-0.02817
12	1	0

而ln(0.5)=-0.693147181
所以如果我们把上表的第三列作为购点值，那么如果要角色们属于50%的优秀者，只需要令购点值加起来小于等于-0.693147181。

接下来我们再解决令人头疼的小数问题。
假设上面那个购点表的对应的函数是S(x)，也即S(x)=ln(P(2d6<=x))
那么购点公式可以写作
S(x)+S(y)+S(z)<=ln(0.5)

我希望在新的公式中，平均值7对应的购点是0。
然后最终的购点结果应该是小于等于一个有意义的整数，就取100好了。

那么首先两边都减去3*S(7)
(S(x)-S(7))+(S(y)-S(7))+(S(z)-S(7))<=ln(0.5)-3*S(7)
再两边都乘以46/(ln(0.5)-3*S(7))。
由于46/(ln(0.9)-3*S(7))>0，所以不等式方向不变。
46/(ln(0.5)-3*S(7))*((S(x)-S(7))+(S(y)-S(7))+(S(z)-S(7)))<=46

这里已经可以看出来，我们最新的购点函数是
S'(x)=46/(ln(0.5)-3*S(7))*(S(x)-S(7))
当然这玩意儿也不是整数，我们这里四舍五入取整就可以了。
取整后的|S'(x)|值在下表给出

x	P(2d6<=x)	ln(P(2d6<=x))	|S'(x)|
2	0.027778	-3.58352	-330
3	0.083333	-2.48491	-211
4	0.166667	-1.79176	-136
5	0.277778	-1.28093	-80
6	0.416667	-0.87547	-36
7	0.583333	-0.539	0
8	0.722222	-0.32542	23
9	0.833333	-0.18232	39
10	0.916667	-0.08701	49
11	0.972222	-0.02817	55
12	1	0	58

这里的|S'(x)|便是一个我们直接从骰子分布转换来的购点表。而标准购点值为100。

三、负购问题
上面的表格中，低于平均值的点数有非常大的负购点。
这是非常容易理解的的，如果你把购点乘以-1，它甚至可以视为骰点的时候.r2d6=2所带来的痛苦程度。那可是六个.r2d6=12才能弥补回来的苦闷。
但是在购点的过程中人们并不会把它当做苦闷，一项属性2能够换来六个12？这简直赚飞了啊。
这时候对负购的限制就显得尤为重要。那么接下来的问题是，那些负购部分需要被砍掉？

这里首先假设平均值购点为0，如果不为零就集体增减购点把它们调到0。
如果平均值是小数，你随便选向上还是向下取整吧，或者两个各算一遍。

这里使用的方案会涉及到实际游戏和对游戏的理解，所以请根据实际游戏的情况来决定如何做。
利用上面的购点函数|S'(x)|。
在这个三属性游戏里，每个角色会有一项主要属性，一项次要属性，一项有用但也可以放弃的属性。
而且当我们骰点时，只有当主要属性和次要属性都非常高的时候，放弃属性就算是2也能忍下去。

我们的变量是最低购点|S'(min)|。

那么根据上述情况，负购点必须要能满足55+55+|S'(min)|<=100
同时，由于负购点膨胀严重，我们希望它刚好到这个程度就够了，也即55+55+|S'(min+1)|>100
那么有
|S'(min)|<=-10
|S'(min+1)|>-10
得到S'(min)=-36
砍掉不需要的负购点后，最终的购点表为

x	P(2d6<=x)	ln(P(2d6<=x))	|S'(x)|
6	0.416667	-0.87547	-36
7	0.583333	-0.539	0
8	0.722222	-0.32542	23
9	0.833333	-0.18232	39
10	0.916667	-0.08701	49
11	0.972222	-0.02817	55
12	1	0	58

四、6#3d6的情况
下表展示了六项3d6属性的情况，总购点则为400。
另外，在上文中取的S(7)作为0点，这里使用的是S(10)。

x	P(3d6<=x)	ln(P(3d6<=x))	|S'(x)|
3	0.00463	-5.37528	-540
4	0.018519	-3.98898	-380
5	0.046296	-3.07269	-275
6	0.092593	-2.37955	-195
7	0.162037	-1.81993	-130
8	0.259259	-1.34993	-76
9	0.375	-0.98083	-33
10	0.5	-0.69315	0
11	0.625	-0.47	26
12	0.740741	-0.3001	45
13	0.837963	-0.17678	60
14	0.907407	-0.09716	69
15	0.953704	-0.0474	75
16	0.981481	-0.01869	78
17	0.99537	-0.00464	79
18	1	0	80

你也许会问，这和你平时用的购点点数怎么差别这么大啊，甚至考虑了阶段性也不会差这么远吧。
这也许可以说明，骰点中产生的格差社会，差别就是这么大。

[笨哈]

所以你在說三小

* 笨哈 一臉迷茫，準備烤帶魚

[小丁]

大家都学过高中数学，为何我看不懂

[希尔]

显然这不是高中数学牙（所以拉到底下看结论就好了。

是不是把带鱼吃掉就能明白这超纲考点在说啥
/me 已经生好火，準備烤带鱼吃，以型補型

[涅薇儿·德拉诺尔]

* 涅薇儿·德拉诺尔 放烤鱼bgm

[snowknight]

总是把S脑补成San，然后就莫名其妙看懂了
“这里使用的方案会涉及到实际游戏和对游戏的理解，所以请根据实际游戏的情况来决定如何做。
利用上面的购点函数|S'(x)|。
在这个三属性游戏里，每个角色会有一项主要属性，一项次要属性，一项有用但也可以放弃的属性。
而且当我们骰点时，只有当主要属性和次要属性都非常高的时候，放弃属性就算是2也能忍下去。”
为何这个逻辑让我莫名的口嫌体直呢233。。。

假如采用这个新的购点表的话（虽然我对这个表的数值极度存疑，说好的正太分布呢）

8       -76
9       -33
10       0
11       26
12       45
13       60
14      69
15      75
16      78
17      79
18       80

的话，购点总数才400？感觉这是让人无视15-17，疯狂买18的节奏？5个18有木有？
不考虑下增加购置18的难度么。。呃说错了，是降低12-17的点数么。。。

[逆神猪]

这是因为打底的原始概率函数是一个“最容易能想到，符合最低需要”的函数，而不是一个真正符合需求的函数
也就是【这时候我们很容易想到，设2d6的结果小于等于X的概率为P(2d6<=X)（X为整数），P(2d6<=X)显然是一个满足我们要求的，X越高值越大的函数。】
这个函数并没有满足“属性带来的收益成线性关系”这一需求